Question

太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统．它们运行的原理可以理解为，质量为M的恒星和质量为m的行星（M＞m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着．如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．
（1）恒星与点C间的距离是

 

；
（2）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；
（3）计算恒星的运行速率v．

Answer 1

分析：（1）恒星与行星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，相互之间的万有引力提供各自的向心力，而且两颗恒星有相同的角速度和周期．根据牛顿第二定律分别对两星进行列式，来求解．
（2）根据恒星、行星与圆心C总在同一直线上，画出恒星运动的轨道和位置；
（3）根据万有引力等于向心力，由牛顿第二定律列式求解恒星的运行速率v．

解答：解：（1）对行星m，F=mω²R_m…①
对恒星M，F′=Mω²R_M…②
则得 RM=

m

M

a
（2）恒星与行星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，恒星、行星与圆心C总在同一直线上，恒星运动的轨道和位置大致如图．
（3）对恒星M：

Mv2

RM

=G

Mm

(Rm+RM)2

代入数据得 v=

m

M+m

GM a

答：（1）

m

M

a
（2）如图所示．
（3）恒星的运行速率v为

m

M+m

GM a

．

点评：本题是双星问题，关键抓住两点：一是双星由相互间的万有引力提供向心力；双星的条件是：角速度或周期相等．