Question

17．如图所示，足够长的动摩擦因数为μ=0.2的水平长直轨道，与光滑的半圆形圆弧轨道，位于同一竖直面内．两轨道于B点相切相连．一小物块以初速度v₀=4m/s沿水平直轨道由A向B运动，并从B冲上半圆形轨道．A、B两点距离L=1m．
（1）若小物块运动至半圆形轨道最高点C时，轨道对它的压力等于它的重力．则物块从脱离轨道至再次落回至水平轨道上时的位移为多大？
（2）只改变半圆形光滑轨道的半径，就可使小物块的运动不与轨道脱离，要出现此种情况半圆形光滑轨道的半径应满足什么条件？在此种情况下，小物块最终停下来的位置距离A有多远？

Answer 1

分析 （1）小物块经过C点时，由重力和轨道的压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求物块在C点时的速度．从A到C，运用动能定理求出轨道半径．物块离开轨道后做平抛运动，由平抛运动的规律求水平位移，由几何关系求出位移．
（2）当物块沿光滑半圆形轨道上升的最大高度小于等于其半径时，物块的运动将不与轨道脱离．由动能定理求轨道的半径应满足的条件，并对全程列式，求小物块最终停下来的位置距离A的距离．

解答 解：（1）设半圆形光滑轨道的半径为R，小物块的质 量为M，在C点时的速度为v_C．
由A至C过程：$\frac{1}{2}$Mv_C²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-μMgL-Mg（2R）
小物块与C点：$\frac{M{{v}_{C}}^{2}}{R}$=Mg+N
据题 N=Mg
代入数值联立解得：R=0.2 m，v_C=2 m/s
设物块从脱离轨道至再次落回至水平轨道的过程中运动时间为t，水平分位移为x，位移为s．则：
竖直方向有 2R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向有 x=v_Ct
物块从脱离轨道至再次落回至水平轨道上时的位移：s=$\sqrt{（2R）^{2}+{x}^{2}}$
联立解得：s=0.4$\sqrt{3}$ m≈0.7 m
（2）当物块沿光滑半圆形轨道上升的最大高度小于等于其半径时，物块的运动将不与轨道脱离．
设：物块沿光滑半圆形轨道上升的最大高度为H
物块由开始运动至沿光滑半圆形轨道上升的最大高度的过程，由动能定理：
   0-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-MgH-μMgL
物块的运动不与轨道脱离的条件：
   R≥H
代入数值解得：R≥0.6 m
设此种情况下物块沿水平轨道运动的路程为l；小物块停下来的位置与A的距离为△s．
物块由开始运动至最终停止，由动能定理得：
-μMgl=0-$\frac{1}{2}$Mv₀²
△s=|2L-l|
解得：△s=2 m
答：（1）物块从脱离轨道至再次落回至水平轨道上时的位移为0.7 m．
（2）要出现此种情况半圆形光滑轨道的半径应满足的条件是：R≥0.6 m．在此种情况下，小物块最终停下来的位置距离A有2m．

点评 本题要分析清楚物块的运动过程，把握圆周运动向心力的来源，运用运动的分解法研究平抛运动．要知道滑动摩擦力与总路程有关．