Question

17．如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域．其边界为MN、PQ，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电量为q的带正电的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电、磁复合场后，恰能做匀速圆周运动．
（1）求电场强度E的大小
（2）若带电小球经一定的时间后恰能回到O点，h应满足什么条件？
（3）求从O点出发到第一次会到O点用时间t．

Answer 1

分析 （1）带电小球恰能做匀速圆周运动，则小球所受重力与电场力相等，列式可求得电场强度E的大小．
（2）小球在混合场中做匀速圆周运动，速率不变，只有小球从进入磁场的位置离开磁场，然后做竖直上抛运动，才有可能回到出发点，由动能定理、牛顿第二定律可以求出释放点的高度．
（3）画出粒子运动轨迹示意图．根据运动学公式求出自由下落的时间．根据轨迹对应的圆心角求解在复合场中的时间．

解答 解：（1）带电小球进入复合场后恰能做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，得
  mg=qE，解得 E=$\frac{mg}{q}$．
（2）只有小球从进入磁场的位置离开磁场，做竖直上抛运动，才能恰好回到O点，
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
又由洛伦兹力提供向心力，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由几何关系得：Rsin60°=d
解得：h=$\frac{2{d}^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$
（3）画出粒子的运动轨迹，如下图所示，
带点粒子在磁场运动周期：T=$\frac{2πR}{v}$，h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，t₂=$\frac{7}{6}$T
从O点出发到第一次会到O点用时间 t=2t₁+t₂
解得 t=$\frac{7πm}{3qB}$+$\frac{8{d}^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3{g}^{2}{m}^{2}}$
答：
（1）电场强度E的大小是$\frac{mg}{q}$．
（2）若带电小球经一定的时间后恰能回到O点，h应满足的条件是 h=$\frac{2{d}^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$．
（3）从O点出发到第一次会到O点用时间t得$\frac{7πm}{3qB}$+$\frac{8{d}^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3{g}^{2}{m}^{2}}$．

点评 本题是一道难题，分析清楚粒子的运动过程、作出粒子运动轨迹，熟练应用动能定律、牛顿第二定律、数学知识即可正确解题．