Question

9．如图所示，质量为M=2kg、长度L=$\frac{5}{6}$m的长木板静置于光滑水平面上，在长木板右端B处放置一质量为m=1kg的小物块（可视为质点），小物块与木板间动摩擦因数μ=0.1．现对木板施水平向右的推力F=5N，经过时间t撤去F，最后小物块恰好能运动到木板左端A处，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小物块与木板系统生热Q；
（2）力F作用时间t；
（3）力F做功W．

Answer 1

分析 （1）小物块与木板系统生热Q等于系统克服摩擦力做的功，由Q=μmgL求解；
（2）在F作用的时间内，小物块与木板相对运动时，由牛顿第二定律求得两者的加速度．由速度公式求得撤去F时两者速度的表达式．得到两者相对位移表达式．撤去F后，系统的动量守恒，由动量守恒定律和能量守恒定律列式，联立可求得力F作用时间t；
（3）对长木板，由功的计算公式或动能定理求力F做功W．

解答 解：（1）小物块与木板系统生热为 Q=μmgL
代入数据解得  $Q=\frac{5}{6}J$
（2）由题分析知，小物块与木板相对运动时，
设小物块加速度为a₁．由牛顿第二定律得  ma₁=μmg
得 $a{\;}_1=1m/{s^2}$
设木板加速度为a₂．由牛顿第二定律得  F-μmg=Ma₂
得 $a{\;}_2=2m/{s^2}$
撤去F瞬时小物块速度为v₁，则 v₁=a₁t=t
木板速度为v₂，则 v₂=a₂t=2t
该过程木板相对小物块位移  ${x_1}=\frac{1}{2}a{\;}_2{t^2}-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=\frac{t^2}{2}$
撤去F后历时t′小物块恰好运动到达木板左端A处，小物块与木板达到共同速度v
取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁+Mv₂=（m+M）v
得 $v=\frac{5t}{3}$
对小物块：由动量定理得：μmgt′=m（v-v₁）
得 ${t^'}=\frac{2t}{3}$
该过程木板相对小物块位移 ${x_2}=\frac{{（v+{v_2}）}}{2}{t^'}-\frac{{（v+{v_1}）}}{2}{t^'}=\frac{{（{v_2}-{v_1}）}}{2}{t^'}=\frac{t^2}{3}$
木板长度 L=x₁+x₂=$\frac{{5{t^2}}}{6}$
解得：t=1s
（3）力F做功 $W=F•\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$或 $W=Q+\frac{1}{2}（m+M）{v^2}$
代入数据解得：W=5J
答：
（1）小物块与木板系统生热Q是$\frac{5}{6}$J；
（2）力F作用时间t是1s；
（3）力F做功W是5J．

点评 解决本题的关键是分析清楚物体的运动过程，掌握动量守恒条件：合外力，知道F未撤去时系统的动量不守恒，撤去F时系统的动量才守恒．