Question

如图所示，A、B为两块平行金属板，极板间电压U_AB=1.25×10⁴V，板中央有小孔P和Q．紧靠B板右侧边缘的xOy坐标系的第一象限内，有一边界线MO，与y轴的夹角∠MOy=45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.25T，边界线的下方有水平方向的匀强电场，现有电荷量q=8.0×10^-19 C、质量m=8.0×10^-26 kg的正离子（重力和初速度忽略不计）不断地从小孔P由进入A、B之间．在B板右侧从y轴上坐标为（0，0.4m）的点垂直y轴射入磁场区，经过匀强电场最后打到原点O．求：
（1）每个离子从B板上的小孔Q射出时的速度多大？
（2）匀强电场的电场强度E的大小和方向．
（3）现保持电场强度大小不变，方向与原来相反，同时改变MOy区域内磁场的磁感应强度大小（B′≠0），使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B′应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求解离子从B板上的小孔Q射出时的速度．
（2）离子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求出半径；离子在电场中做类平抛运动，根据运动学公式和牛顿第二定律结合可求出电场强度．根据电场中轨迹偏转方向，判断电场强度的方向．
（3）根据几何知识来画出运动轨迹，求出最大半径，并结合牛顿第二定律，求出磁场满足的条件．

解答：解：（1）设离子的速度为v，根据动能定理，有 qU_AB=

1

2

mv2    ①
代入数据解得v=5.0×10⁵ m/s．②
（2）离子进入磁场B，做圆周运动，由牛顿第二定律有 qvB=m

v2

r

  ③
可得r=0.2m   ④
作出离子的运动轨迹，交边界OM于N，如图甲所示，OQ=2r，若磁场无边界，一定通过O点，则圆弧QN的圆周角为45⁰，则轨迹圆弧的圆心角为θ=90⁰．过N点作圆弧切线，方向竖直向下，离子垂直电场线进入电场，做类平抛运动y=OO′=r=vt，⑤
  x=r=

1

2

at2，⑥
  a=

Eq

m

，⑦
则E=2.5×10⁵ V/m，方向沿x轴负方向
（3）如图乙所示，由几何关系可知使离子不能打到x轴上的最大半径r′=

0.4

2+1

m  ⑧
设使离子都不能打到x轴上，最小的磁感应强度大小为B₀．
则：qvB₀=m

v2

r′

  ⑨
代入数据解得B₀=

2 +1

8

T=0.3T   ⑩
则B′≥0.3T
答：
（1）每个离子从B板上的小孔Q射出时的速度是5.0×10⁵ m/s．
（2）匀强电场的电场强度E的大小是，2.5×10⁵ V/m，方向沿x轴负方向．
（3）现保持电场强度大小不变，方向与原来相反，同时改变MOy区域内磁场的磁感应强度大小（B′≠0），使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大小B′应满足B′≥0.3T．

点评：考查带电粒子做匀速圆周运动与类平抛运动中，用牛顿第二定律与运动学公式，并结合几何关系来处理这两种运动，强调运动的分解，并突出准确的运动轨迹图．