题目内容
7．
2012年，我国宣布北斗导航系统正式进入商业运行．北斗卫星导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星组成，该系统具有导航、定位等功能，如图为“北斗”系统中某一工作卫星，它绕地心做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻位于轨道上的A位置，若卫星顺时针运行，经过一段时间运动到B位置，且与地球连线的夹角为60°，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常数为G．求：（1）地球的质量；
（2）此卫星在轨道上的加速度大小和线速度大小；
（3）此卫星由位置A运动至B需要的时间．
分析 （1）设地表物体的质量为m0，重力等于其万有引力列式求解；
（2）根据万有引力提供向心力公式结合黄金代换式求出加速度和线速度；
（3）根据万有引力提供向心力公式求出周期，而从A到B最少需要$\frac{T}{6}$，结合周期性求解．
解答 解：（1）设地表物体的质量为m0，重力等于其万有引力，则$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）设卫星质量为m，则有：$\frac{GM{m}_{\;}}{{r}^{2}}={m}_{\;}a$
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
又因为GM=gR2（黄金代换），
则$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$
而$\frac{GM{m}_{\;}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$
（3）由$\frac{GM{m}_{\;}}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，又因为GM=gR2（黄金代换），
则$T=\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$
则卫星由A位置运动到B位置的时间t=$\frac{T}{6}+nT=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}（n=0，1，2，3…）$
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）此卫星在轨道上的加速度大小为$a=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，线速度大小为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$；
（3）此卫星由位置A运动至B需要的时间为$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}（n=0，1，2，3…）$．
点评 关于做圆周运动的卫星类问题，要灵活运用两个公式，一是万有引力提供向心力的公式，二是黄金代换式，知道在地球表面的物体由重力提供向心力，难度适中．
优质课堂快乐成长系列答案
如图所示，半径R=10cm的半圆形玻璃砖下端紧靠在足够大的光屏MN上，O点为圆心，OO′为直径PQ的垂线，一束复色光沿半径方向与OO′成θ=30°角射向O点，在光屏的MQ间形成了彩色光带，已知复金以光由折射率从n1=$\sqrt{2}$到n2=1.6的各种色光组成．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
| A． | 洛伦兹发现了电磁感应现象 | |
| B． | 奥斯特发现了电流的磁效应 | |
| C． | 楞次发现了利用磁场产生电流的条件和规律 | |
| D． | 电动机可以利用电磁感应原理将电能转化为机械能 |
如图甲所示，固定在水平桌面上的L型双轨平行金属导轨足够长，倾角为θ=53°，间距L=2m，电阻不计，导轨上两根金属棒ab、cd接入导轨部分的阻值分别为R1=2Ω，R2=4Ω，ab棒的质量m1=5.0kg，cd棒质量m2=1.0kg，不计ab与导轨间的摩擦，cd与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中，现让ab棒从导轨上离桌面某一高度处由静止释放，当它刚要滑出导轨时，cd棒也恰好开始滑动，且ab棒下滑阶段，通过ab棒的电荷量为q=2C，g取10m/s2，cos53°=0.6，sin53°=0.8．
| A． | 只与斜面的倾角有关 | B． | 只与下滑的高度有关 | ||
| C． | 只与斜面的长度有关 | D． | 只与物体的质量有关 |
如图所示，光滑斜面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点平滑相接，半圆形导轨的半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至与半圆导轨的圆心O等高的A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得一速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C．（不计空气阻力）试求：
如图所示，质量为m的木块，置于很大的水平转盘上，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ=0.4），当转盘以角速度ω=4rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径应满足什么条件？（g取10m/s2）
某工厂生产流水线示意图如图所示，半径R=1m的水平面圆盘边缘E点固定一小桶．在圆盘直径DE正上方平行放置水平传送带，传送带右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，竖直高度h=1.25m，AB为一个与CD在同一竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，半径r=0.45m，且与水平传送带相切于B点，传送带BC部分的长度L=1.25m．质量m=0.2kg的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，传送带顺时针方向匀速转动时，则滑块到达C点时刚好与传送带速度一样水平抛出，恰好落入圆盘边缘的E处小桶内．取g=10m/s2．求：