Question

11．2016年2月11日对科学界来说是个伟大的日子，科学家首次直接探测到了引力波的存在，引力波传达携带着来自黑洞的直接信息．已知的黑洞中最大黑洞位于QJ1287类星体的中心位置，一个小的黑洞绕其旋转，若已知小黑洞的绕行周期为T，绕行半经为r，若地球绕太阳公转半经为r₀，公转周期为T₀，将小黑洞、地球绕行轨道等效为圆周轨道，则以下判断正确的是（　　）

• A． 小黑洞轨道处的引力加速度大小为$\frac{4{π}^{2}{r}_{0}}{{T}^{2}}$
• B． 若黑洞间引力不断增强，则小黑洞的周期将大于T
• C． 若黑洞间引力不断增强，则小黑洞的向心加速度将变小
• D． 大黑洞质量为太阳质量的$\frac{{r}^{3}{T}_{0}^{2}}{{r}_{0}^{3}{T}^{2}}$倍

Answer 1

分析 小黑洞绕大黑洞做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，向心加速度即轨道处的引力加速度，引力增强，万有引力大于所需要的向心力做近心运动，根据万有引力等于向心力求天体质量．

解答 解：A、小黑洞轨道处的引力加速度大小为a，则有$a={ω}_{\;}^{2}r=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，故A错误；
B、若黑洞间引力不断增强，则小黑洞做近心运动，轨道半径变小，周期将小于T，故B错误；
C、若黑洞间引力不断增强，则小黑洞做近心运动，轨道半径变小，小黑洞的向心加速度将变大，故C错误；
D、小黑洞绕大黑洞做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得大黑洞质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{M′m}{{r}_{0}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{r}_{0}^{\;}$，得太阳质量$M′=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$
大黑洞质量与太阳质量之比$\frac{M}{M′}=\frac{{r}_{\;}^{3}{T}_{0}^{2}}{{r}_{0}^{3}{T}_{\;}^{2}}$，故大黑洞质量是小黑洞质量的$\frac{{r}_{\;}^{3}{T}_{0}^{2}}{{r}_{0}^{3}{T}_{\;}^{2}}$倍，故D正确
故选：D

点评 本题考查万有引力的应用，题目较为新颖，在解题时要注意分析向心力的来源及题目中隐含的条件．