Question

11．自由式滑雪空中技巧是一项有极大观赏性的运动，其场地由①出发区、②助滑坡、③过渡区、④高度h=4m的跳台组成．其中过渡区的CDE部分是半径为R=4m圆弧，D是最低点，∠DOE=60°，如图所示．比赛时运动员由A点静止出发进入助滑区，经过渡区后，沿跳台的斜坡匀减速上滑，至跳台的F处飞出表演空中动作．运动员要成功完成空中动作，必须在助滑区用滑雪杆助滑，使离开F点时速度在36km/h到48km/h之间．不计所有阻力，已知$\overline{AB}=2\overline{EF}$，取g=10m/s²．
（1）一次，某总质量为60kg的运动员进行试滑，他从A点滑下后不用滑雪杆助滑，结果F点飞出后无法完成空中动作．教练测得他在②、④两段运动时间之比t₁：t₂=3：1，求他在②、④两段运动的平均速度之比和加速度之比．
（2）这次试滑，他通过D点时受到的支持力多大？
（3）试求为了能成功完成空中动作，助滑过程中他至少需要消耗多少体能？

Answer 1

分析 （1）根据平均速度的定义式求出平均速度之比，根据位移时间公式，结合B、E两点的速度大小相等，求出加速度之比．
（2）根据牛顿第二定律，结合加速度的关系求出在AB段的加速度大小，结合速度位移公式求出B点的速度，对B到D运用动能定理求出D点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小．
（3）根据功能关系求出助滑过程中他至少需要消耗的体能．

解答 解：（1）由$\overline{v}=\frac{x}{t}$可得，位移之比为2：1，时间之比为3：1，则$\overline{{v}_{1}}：\overline{{v}_{2}}=2：3$，
$\overline{AB}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$，$\overline{EF}={v}_{E}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$，
不计阻力，v_B=v_E=a₁t₁，
代入数据联立解得a₁：a₂=2：3．
（2）在$\overline{EF}$段，有：$\overline{EF}=\frac{h}{sin60°}=\frac{8\sqrt{3}}{3}m$，
${a}_{2}=gsin60°=5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
在$\overline{AB}$段，有：$\overline{AB}=2\overline{EF}=\frac{16\sqrt{3}}{3}m$，${a}_{1}=\frac{2}{3}{a}_{2}=\frac{10\sqrt{3}}{3}m/{s}^{2}$，
运动员从A点由静止出发做匀加速运动，由运动学公式得，
${{v}_{B}}^{2}=2{a}_{1}\overline{AB}$，
从B点至D点的过程中，由动能定理得，$mgR（1-cos60°）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
在D点，由牛顿第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
联立代入数据解得F_N=2800N．
（3）设助滑过程中运动员消耗的能量为E，由功能关系可得，
E-mg[h+R（1-cos60°）]=$\frac{1}{2}m{{v}_{F}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$，
当v_F=36km/h=10m/s时，E_min=2200J．
答：（1）他在②、④两段运动的平均速度之比和加速度之比分别为2：3、2：3．
（2）他通过D点时受到的支持力为2800N．
（3）助滑过程中他至少需要消耗2200J的体能．

点评 本题综合考查了动能定理、功能关系、牛顿定律和运动学公式的综合运用，关键理清运动员在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解，难度中等．