Question

18．两根平行导轨，宽度L=0.5m，左边水平，右边是在竖直面的半圆轨道，半径R₀=0.5m，左边现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP′．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与水平直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，与半圆导轨间摩擦可忽略．轨道的电阻可忽略不计，B=0.6T，电阻R=0.4Ω，磁场长度d=1.0m．取g=10m/s²，（保留两位小数）

求：（1）导体杆刚进入磁场时速度V₁；
（2）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
（3）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量q；
（4）杆出磁场瞬间速度V₂，和在半圆轨道最高点速度V₃；
（5）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1、2）先有动能定理求出进入磁场时的速度，导体棒进入磁场时金属杆切割磁感线，产生感应电流．由法拉第定律和欧姆定律可求得感应电流大小，由右手定则判断出感应电流方向；
（3）设导体杆在磁场中运动的时间为t，求出产生的感应电动势的平均值，根据欧姆定律求出电流的平均值，进而求出电量；
（4）由牛顿第二定律求出导体杆到达轨道最高点时的速度，由机械能守恒定律求出金属杆穿出磁场时的速度；
（5）回路中机械能转化为内能，根据能量守恒定律求出电路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v₁，
由动能定理得：（F-μmg）s=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
解得：v₁=6m/s
（2）导杆刚进入磁场时产生的感应电动势为：E=Blv₁，
此时通过导体杆的电流大小为：I=$\frac{E}{R+r}$，
代入数据解得：I=3.6A，
由右手定则可知，电流的方向为由b指向a；
（3）设导体杆在磁场中运动的时间为 t，产生的感应电动势的平均值为$\overline{E}$，
则由法拉第电磁感应定律有 $\overline{E}=\frac{△∅}{t}=\frac{BLd}{t}$
通过电阻 R 的感应电流的平均值为$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过电阻 R 的电荷量 q=$\overline{I}t$=0.6C
（4）设导体离开磁场时的速度为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃，
因导杆恰好能以最小速度通过圆轨道最高点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{R}_{0}}$，
解得：v₃=$\sqrt{5}$m/s
导体杆从MN′到PP′的过程，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+mg•2R₀，
解得 v₂=5.0m/s；
（5）由能量守恒定律得：导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能：△E=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热为：Q=△E-μmgd，
解得：Q=0.94J；
答：（1）导体杆刚进入磁场时速度为6m/s；
（2）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3.6A，方向由b指向a；
（3）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量为0.6C；
（4）杆出磁场瞬间速度为5.0m/s，在半圆轨道最高点速度为$\sqrt{5}$m/s；
（5）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热为0.94J．

点评 本题首先要分析导体棒的运动过程，分三个子过程进行研究；其次要掌握三个过程遵守的规律，运用动能定理、能量守恒、牛顿第二定律、机械能守恒等联合求解．