Question

6．一块长为L=1m的粗糙均匀薄木板可绕其左端水平轴O在竖直面内由电动机带动转动，初始时处于水平位置，如图所示．一个小滑块以初速度v₀=2m/s，加速度大小为a=$\sqrt{3}$m/s²，从左端向右滑动，滑到离左端$\frac{\sqrt{3}}{2}$L处时碰撞固定在板面上的触发开关P，速度立即减为零，同时板立即以一定的角度速度绕左端沿顺时针方向匀速转动，已知重力加速度g=10m/s²．求：
（1）滑块与开关P相碰时的速度大小．
（2）板的角速度ω在什么范围内滑块与板会相碰？

Answer 1

分析 （1）已知初速度、位移及加速度，由速度和位移公式可求得到达P点的速度；
（2）根据题意可明确木板与滑块相碰的可能情况，找出角速度的最大值和最小值即可求得范围．

解答 解：（1）滑块做匀减速直线运动，由运动学公式可得：
v²-v₀²=2ax
解得：v=$\sqrt{4-2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1}$=1m/s；
（2）由题意可知，碰上开关后，滑块做自由落体运动，木板做圆周运动；
相碰的最小角速度为零；
当木板的最右端正好落到P点的正下方与滑块相碰时对应最大角速度；如图所示；

由何关系可知，cosθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}l}{2}}{l}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故θ=30°=$\frac{π}{6}$
滑块下落高度h=lsin30°=$\frac{1}{2}l$=$\frac{1}{2}$m；
由自由落体规律可知：
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：t=$\sqrt{0.1}$s；
对应的角速度ω=$\frac{\frac{π}{6}}{\sqrt{0.1}}$=1.66rad/s；
故角速度的范围为：0＜ω＜1.66rad/s
答：（1）滑块与开关P相碰时的速度大小为1m/s．
（2）板的角速度ω在0＜ω＜1.66rad/s内滑块与板会相碰

点评 本题考查运动学与圆周运动的结合，要注意明确两物体在相撞，则应能在同一时刻同现在同一位置；由几何关系可分析可能的情况．