Question

20．如图所示，直角三棱镜ABC的折射率为$\sqrt{3}$，棱镜的角B为30°，今有一束平行于BC边从斜边D点入射的单色光，在BC上某点E发生全反射后，从AC边上F点射出．已知BC边的长度为2$\sqrt{3}$d，BD的长度为d，光在真空中的传播速度为C．要求：
（1）作出光在三棱镜中的光路图；
（2）求发生全反射的点E与B点的距离；
（3）求光在三棱镜中传播的时间．

Answer 1

分析 （1）先根据折射定律，求出光线在AB面的折射角，由几何知识求出光线在BC面上的入射角，由折射定律求得全反射的临界角，画出光路图．
（2）根据几何知识求解EB距离．
（3）运用几何知识求出光在三棱镜中通过的路程S，由v=$\frac{c}{n}$求出光在三棱镜中传播速度，由t=$\frac{S}{v}$求解时间．

解答 解：（1）根据题意画出光在三棱镜中的光路图如图．   
（2）由题图知，光线在AB面上的入射角 i=60°
由折射定律得 n=$\frac{sini}{sinr}$，得sinr=$\frac{sini}{n}$=$\frac{sin60°}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，得 r=30°=θ
由几何知识可得：$\overline{EB}$=2$\overline{DB}$cosθ=2dcos30°=$\sqrt{3}$d
（3）$\overline{DE}$=$\overline{DB}$=d
$\overline{CE}$=$\overline{CB}-\overline{EB}$=2$\sqrt{3}$d-$\sqrt{3}$d=$\sqrt{3}$d
由几何知识有 i′=60°，∠CEF=30°
则 $\overline{EF}$=$\frac{\overline{CE}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}d}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2d
故光在三棱镜中传播的路程为 S=$\overline{DE}$+$\overline{EF}$=3d
光在三棱镜中传播的速度  v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
故光在三棱镜中传播的时间为 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{3\sqrt{3}d}{c}$
答：
（1）作出光在三棱镜中的光路图如图；
（2）发生全反射的点E与B点的距离是$\sqrt{3}$d；
（3）光在三棱镜中传播的时间是$\frac{3\sqrt{3}d}{c}$．

点评 对于几何光学问题，正确作出光路图是解题的基础．要注意光从光密介质进入光疏介质时，可能产生全反射，光发生全反射时遵守反射定律．