Question

如图所示，竖直平面（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。在x≤O的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B₁的匀强磁场。在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为B₂、方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）。一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限。小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同。设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g。求：

(1)匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负；

(2)小球Q的抛出速度v₀的取值范围；

(3)B₁是B₂的多少倍？

Answer 1

解：（1）由题给条件，小球P在电磁场区域内做圆周运动，必有重力与电场力平衡，设所求场强大小为E，有

    ①

得     ②

小球P在平板下侧紧贴平板运动，其所受洛伦兹力必竖直向上，故小球P带正电。

（2）设小球P紧贴平板匀速运动的速度为v，此时洛伦兹力与重力平衡，有

    ③

设小球P以速度v在电磁场区域内做圆周运动的半径为R，有

   ④

设小球Q与小球P在第四象限相遇点的坐标为x、y，有

，   ⑤

小球Q运动到相遇点所需时间为，水平方向位移为s，竖直方向位移为d，有

    ⑥

   ⑦

由题意得，  ⑧

联立相关方程，由题意可知v₀＞0,得

0＜v₀≤   ⑨

（3）小球Q在空间做平抛运动，要满足题设要求，则运动到小球P穿出电磁场区域的同一水平高度时的W点时，其竖直速度与竖直位移必须满足，

设小球Q运动到W点时间为t，由平抛运动，有

，

联立相关方程，解得

，即B₁是B₂的0.5倍。