Question

如图所示,水平桌面上有一轻弹簧,左端固定在A点,自然状态时其右端位于B点.水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP,其形状为半径R=0.8 m的圆环剪去了左上角的135⁰的圆弧,MN为其竖直直径,P点到桌面的竖直距离也是R.用质量m₁=0.4 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点,释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点.用同种材料､质量为m₂=0.2 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放,物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t-2t²,物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道.g=10 m/s²,求:

(1)物块运动到P点速度的大小和方向;

(2)判断m₂能否沿圆轨道到达M点;

(3)释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功.

 

Answer 1

解析:(1)设物块由D点以初速度v_D做平抛运动,落到P点时其竖直速度为v_y²=2gR

  得v_D=v_y=4 m/s

所以到P的速度为m/s,方向与水平方向夹角为45⁰

(2)若物块能沿轨道到达M点,其速度为v_M,    m₂v²_M=m₂v²_D-m₂gR

轨道对物块的压力为F_N,则F_N + m₂g=m₂

解得F_N=(1-)m₂g<0

即物块不能到达M点.

(3)设弹簧长为AC时的弹性势能为E_p,物块与桌面间的动摩擦因数为μ,释放m₁时,E_p=μm₁gs_CB

释放m₂时,E_p =μm₂gs_CB +m₂v²₀

且m₁=2m₂,得E_p = m₂v²₀ =7.2 J

m₂在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f,

则E_p-W_f=m₂v²_D  可得W_f=5.6 J.