Question

6．地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据和过程；
（2）若已知第一宇宙速度大小为V=7.9km/s，地球半径R=6.4×10³km，万有引力常数G=6.67×10^-11N•m²/kg．求地球的质量．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，可认为其轨道半径是地球的半径R，可利用万有引力提供它做圆周运动的向心力来进行求解．

解答 解：（1）万有引力定律提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得第一宇宙速度：
$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（2）万有引力定律提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
故地球的质量：
$M=\frac{{{v^2}R}}{G}=\frac{{{{（7.9×{{10}^3}）}^2}×6.4×{{10}^5}}}{{6.67×{{10}^{-11}}}}Kg=6.0×{10^{24}}Kg$
答：（1）第一宇宙速度的计算式：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）地球的质量为6.0×10²⁴kg

点评 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力是解决这类题目的突破口，找出需要的数据列万有引力定律提供向心力公式即可．