Question

1．我国“嫦娥三号”探月卫星已成功发射，设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，求：
（1）月球表面的重力加速度g
（2）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合卫星的轨道半径和周期求出月球的质量．由万有引力等于重力求得加速度g，
（2）根据重力提供向心力可确定其第一宇宙速度．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$解得月球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
表面的重力加速度为：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
（2）第一宇宙速度为v，由mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得：$v=\sqrt{gR}$=$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$    
答：（1）月球表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
（2）月球的第一宇宙速度为$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

点评 解决本题的关键掌握万万有引力等于重力，能正确根据卫星运动时的向心力由万有引力提供列出等式求解，第一宇宙速度也是近星的环绕速度．