Question

（2007?上海）在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y=2.5cos（kx+

2

3

π）（单位：m），式中k=1m^-1．将一光滑小环套在该金属杆上，并从x=0处以v₀=5m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g=10m/s²．则当小环运动到x=

π

3

 m时的速度大小v=

5

2

m/s

该小环在x轴方向最远能运动到x=

5π

6

m处．

Answer 1

分析：环在运动的过程中，机械能守恒，根据曲线方程可以确定环的位置，即环的高度的大小，再根据机械能守恒可以求得环的速度的大小和小环在x轴方向能运动的最远的位置．

解答：解：光滑小环在沿金属杆运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，
由曲线方程知，环在x=0处的y坐标是-

2.5

2

m；在x=

π

3

时，y=2.5cos（kx+

2

3

π）=-2.5 m．
选y=0处为零势能参考平面，则有：

1

2

mv₀²+mg（-

2.5

2

）=

1

2

mv²+mg（-2.5），
解得：v=5

2

m/s．
当环运动到最高点时，速度为零，
同理有：

1

2

mv₀²+mg（-

2.5

2

）=0+mgy．
解得y=0，即kx+

2

3

π=π+

π

2

，该小环在x轴方向最远能运动到x=

5π

6

m处．
故答案为：5

2

m/s；　

5π

6

m．

点评：本题和数学的上的方程结合起来，根据方程来确定物体的位置，从而利用机械能守恒来解题，题目新颖，是个好题．