Question

如图所示，AB和CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R=2.0m，一个质量为m=1kg的物体在离弧高度为h=2.0m处，以初速度4.0m/s沿斜面运动，若物体与两斜面间的动摩擦因数μ=0.02，重力加速度g=10m/s²，则：
（1）物体在斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多长路程？
（2）物体对圆弧最低点的最大压力和最小压力分别为多少？

Answer 1

分析：（1）分析物体运动过程可知，由于能量损失，物体最终在B、C之间往复运动，根据能量守恒定律物体减少的机械能等于系统产生的内能，列出表达式即可求解总路程．
（2）物体第一次到达最低点时速度最大，对圆弧压力最大．当物体在BC间往复运动，到达最低点时对圆弧最低点压力最小．先根据动能定理求出物体经过最低点时的速度大小，再根据牛顿第二、第三定律求解物体对圆弧最低点的压力．

解答：解：（1）根据题意可知，由于斜面有摩擦，圆弧光滑，所以物体经过多次上下运动最终将在B、C之间往复运动，则
由动能定理得 mg（h-

1

2

R）-μmgLcos60°=0-

1

2

mv₀²
解得：L=280m．
（2）物体第一次到达最低点时对圆弧压力最大
 mg（h-

1

2

R）-μmg cos60°

h

sin60°

=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²     
在E点时，有N_max-mg=m

v 2 1

R

   
解得 N_max=47.77N    
由牛顿第三定律得   N_max′=N_max=47.77N
即物体第一次到达最低点时对圆弧压力最大为47.77N．
物体在BC间往复运动到达最低点时对圆弧最低点压力最小，则 根据机械能守恒定律得
  mg

1

2

R=

1

2

mv₂²    
在E点时，有 N_min-mg=

m v 2 2

R

  
解得 N_min=20N    
由牛顿第三定律得   N_min′=N_min=20N
故物体对圆弧最低点压力最小为20N．
答：
（1）物体在两斜面上一共能走280m．
（2）物体对圆弧最低点的最大压力和最小压力分别为47.77N和20N．

点评：本题属于多过程问题，由于机械能损失，物体最终在B、C之间做往复运动，要知道摩擦生热与总路程有关，根据能量守恒定律即可求解．