Question

（18分）在光滑水平面上有一圆形气缸,缸内用绝热活塞封闭了一定质量的理想气体,气缸（含气体）和活塞的质量均为m,气缸内壁光滑且绝热,在气缸的左侧固定一个半径为R的四分之一圆周的光滑圆弧轨道，轨道最低点的切线是水平的,并且与气缸内壁面等高,如图所示,先让质量为m的小球从与圆弧轨道圆心等高处由静止滑下,求：

（1）小球到最低点时对轨道的压力；

（2）若小球与活塞碰后立即黏合在一起,则气体内能增加的最大量是多少；

（3）求在整个过程中气缸的最大速度.

Answer 1

（1）机械能守恒，小球到最低点时

          mgR ＝                                       (1分)

          v₀＝       ①                                 (1分)

         对小球受力分析，受轨道的支持力N和自身重力，且

 N — mg ＝                           (1分)

            所以  N＝3mg                                     (1分)

         根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为N ’ =N=3mg  (1分)

         方向为竖直向下                                       (1分)

（2）小球碰到活塞时共速，设小球和活塞共速的速度为mv₁

mv₀＝2mv₁ ②                                     (1分)

当气体不能再压缩时，获得最大的内能增加量△U，小球、活塞和气缸（含气体）共速，设为v₂

  2mv₁ ＝3m₂   ③                    (1分)

△U ＝   ④     (2分)

联立①②③④，得

△U＝mgR                         (2分)

        (3)当气缸中理想气体恢复原来体积的时候，设小球和活塞速度为v₃，此时气缸有最大速度v₄，

2mv₃ +m v₄ ＝ mv₀                  (2分)

            (2分)

联立①，有v₄ ＝                (2分)