Question

3．如图所示，一半径为R的半圆形光滑轨道固定在竖直平面内．a、b是轨道的两个端点且高度相同，O为圆心．小球A静止在轨道的最低点，小球B从轨道右端b点的正上方距b点高为2R处由静止自由落下，从b点沿圆弧切线进入轨道后，与小球A相碰．第一次碰撞后B球恰返回到b点，A球上升的最高点为c，Oc连线与竖直方向夹角为60°（两球均可视为质点）．求：
①A、B两球的质量之比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$．（结果可以用根式表示）
②判断A、B两球碰撞是否为弹性碰撞．

Answer 1

分析 ①根据机械能守恒研究B与A碰前的过程求出碰前的速度大小，第一次碰撞后B球恰返回到b点，A球上升的最高点为c，根据机械能守恒列出等式，根据动量守恒定律列出等式，联立求解．
②根据碰撞前后机械能是否守恒，分析该碰撞是否是弹性碰撞．

解答 解：①设B与A碰前的速度大小是v₀，根据机械能守恒得：
m_Bg•3R=$\frac{1}{2}$m_B${v}_{0}^{2}$
设碰后A、B速度大小分别为v_A、v_B，碰后A球上升的过程，根据机械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$m_A${v}_{A}^{2}$=m_AgR（1-cos60°）
碰后B球上升的过程，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$m_B${v}_{B}^{2}$=m_BgR
规定向左为正方向，对于碰撞过程，根据动量守恒定律得：
   m_Bv₀=m_Av_A-m_Bv_B
联立解得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$
②碰撞前，以A点为参考点，A、B系统的机械能，有：E=m_Bg•3R=3m_BgR
碰后，A、B系统的机械能为：
E′=m_AgR（1-cos60°）+m_BgR=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）m_BgR（1-cos60°）+m_BgR＜3m_BgR
可知，碰撞过程中机械能有损失，所以该碰撞不是弹性碰撞．
答：①A、B两球的质量之比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$是$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
②判断A、B两球碰撞不是弹性碰撞．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律的直接应用，关键要清楚物体的运动过程，把握每个过程的物理规律．注意运用动量守恒定律时要选取正方向．