Question

3．如图所示，在xoy平面内，三个半径为a 的四分之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场（含边界上）．一群质量为m电荷量为q的带正电的粒子同时从坐标原点O以相同的速率、不同的方向射入第一象限内（含沿x轴、y轴方向），它们在磁场中运动的轨道半径也为a，在y≤-a的区域，存在场强为E、沿-x方向的匀强电场．整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用．求：
（1）粒子从O点射入磁场时的速率v₀；
（2）这群粒子从O点射入磁场至运动到x轴的最长时间；
（3）这群粒子到达y轴上的区域范围．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力求出粒子从O点射入磁场时的速率．
（2）从O沿+y轴方向射入磁场的粒子，从O到C耗时最长，根据弧长和速度求出运动的时间．
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变成与+x轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，经过Ⅱ区域偏转又都通过C点．从C点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，所有粒子都变成与-y轴平行（即垂直进入电场），分别求出x=2a进入电场的粒子和x=3a进入电场的粒子到达y轴的坐标，从而得出这群粒子到达y轴上的区域范围．

解答 解：（1）由$qB{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$得，${v}_{0}=\frac{qBa}{m}$，
（2）这些粒子中，从O沿+y轴方向射入磁场的粒子，从O到C耗时最长，由t=$\frac{s}{{v}_{0}}$得，
${t}_{max}=\frac{πa}{{v}_{0}}=\frac{πm}{qB}$．
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变成与+x轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，经过Ⅱ区域偏转又都通过C点．
从C点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，所有粒子都变成与-y轴平行（即垂直进入电场）   
对于从x=2a进入电场的粒子，在-x方向的分运动有：$2a=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{{t}_{1}}^{2}$                                   
解得${t}_{1}=\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$．
则该粒子运动到y轴上的坐标为：${y}_{1}=-a-{v}_{0}{t}_{1}=-a-Ba\sqrt{\frac{4aq}{Em}}$．
对于从x=3a进入电场的粒子，在-x方向的分运动有：$3a=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{{t}_{2}}^{2}$，
解得${t}_{2}=\sqrt{\frac{6am}{qE}}$．
则该粒子运动到y轴上的坐标为：${y}_{2}=-a-{v}_{0}{t}_{2}=-a-Ba\sqrt{\frac{6aq}{Em}}$．
这群粒子运动到y轴上的区间为：$-a-Ba\sqrt{\frac{6aq}{Em}}≤y≤-a-Ba\sqrt{\frac{4aq}{Em}}$．
答：（1）粒子从O点射入磁场时的速率为$\frac{qBa}{m}$；
（2）这群粒子从O点射入磁场至运动到x轴的最长时间为$\frac{πm}{qB}$；
（3）这群粒子到达y轴上的区域范围为$-a-Ba\sqrt{\frac{6aq}{Em}}≤y≤-a-Ba\sqrt{\frac{4aq}{Em}}$．

点评 粒子在电场中的偏转都是用运动的合成与分解的思想，这是难点，也是考试的热点，要透彻理解．