Question

如图，竖直放置的斜面AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧半径为R，圆心与A、D在同一水平面上，∠COB=θ，现有一个质量为m的小物体从斜面上的A点无初速滑下，已知小物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求：

（1）小物体在斜面上能够通过的路程；

（2）小物体通过C点时，对C点的最大压力和最小压力．

Answer 1

考点：

动能定理；向心力．专题：动能定理的应用专题．

分析：

（1）由几何知识得知，斜面的倾角等于θ．物体从A点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物体在斜面上运动时机械能不断减小，到达的最大高度越来越小，最终在BE圆弧上来回运动，到达B点的速度为零．物体在斜面上运动时摩擦力大小为μmgcosθ，总是做负功，滑动摩擦力做的总功与总路程成正比，根据动能定理求解总路程．

（2）当物体第一次经过C点时，速度最大，对C点的压力最大，当最后稳定后，物体在BE之间运动时，经过C点时速度最小，物体对C点的压力最小，根据动能定理求出最大速度和最小速度，再由牛顿运动定律求解最大压力和最小压力．

解答：

解：（1）如图，小物体最终将在以过圆心的半径两侧θ 范围内即图中EB范围内运动，对物体从A到B（或E）的整个过程，运用动能定理得

mgRcosθ﹣fs=0

又 f=μmgcosθ

解得：S=

（2）小物体第一次到达最低点时对C点的压力最大；根据牛顿第二定律得：N_max﹣mg=m

由动能定理得：mgR﹣μmgcosθ?=

式中

解得：N_max=mg（3﹣2?cosθctgθ）

当小物体最后在BCD′（D′在C点左侧与B等高）圆弧上运动时，通过C点时对轨道压力最小．则有：N_min﹣mg=m

mgR（1﹣cosθ）=mv′²

解得：N_min=mg （3﹣2cosθ）．

答：

（1）小物体在斜面上滑行的总路程是；

（2）物体对C点的最大压力为3mg﹣2μmgcosθcotθ，最小压力为3mg﹣2mgcosθ．

点评：

本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，抓住滑动摩擦力做功与路程有关这一特点．