Question

20．水平放置的气垫导轨上放有两个滑块A和B，质量分别为m和2m，其中B左侧安装一质量很小的弹簧，现给A一水平向右的大小为v₀的初速度．
（i）在不计弹簧质量的情况下，当弹簧压缩至最短时，求弹簧储存的弹性势能E_p．
（ii）现考虑弹簧质量，设弹簧质量为$\frac{m}{n}$，则当弹簧压缩至最短时，求弹簧储存的弹性势能E'_p．

Answer 1

分析 （i）当两个滑块速度相等时弹簧压缩量最大，弹性势能最大．滑块A、B系统动量守恒，根据动量守恒定律求解共同速度；根据系统的机械能守恒定律求解弹簧储存的弹性势能E_p；
（ii0现考虑弹簧质量，两个滑块和弹簧组成的系统动量守恒，再由系统的机械能守恒定律求解弹簧储存的弹性势能E_p′．

解答 解：（i）在不计弹簧质量的情况下，两个滑块的总动量守恒．当弹簧压缩最短时，两个滑块的速度相等，设为v．取向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=3mv
由能量守恒定律有：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$×3mv²
联立解得：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（ii）考虑弹簧质量，则对整体由动量守恒定律和能量守恒定律有：
mv₀=（3m+$\frac{m}{n}$）v'
E'_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$（3m+$\frac{m}{n}$）v'²
解得：E'_p=$\frac{（2n+1）m{v}_{0}^{2}}{2（3n+1）}$
答：（i）在不计弹簧质量的情况下，当弹簧压缩至最短时，弹簧储存的弹性势能E_p是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$．
（ii）现考虑弹簧质量，设弹簧质量为$\frac{m}{n}$，则当弹簧压缩至最短时，弹簧储存的弹性势能E'_p是$\frac{（2n+1）m{v}_{0}^{2}}{2（3n+1）}$．

点评 本题关键要明确当两个滑块速度相等时弹簧压缩量最大，弹性势能最大；然后根据机械能守恒定律和动量守恒定律列式后联立研究．