Question

如图所示，ABC为一固定的半圆形轨道，轨道半径R=0.4m，A、C两点在同一水平面上．现从A点正上方h=2m的地方以v₀=4m/s的初速度竖直向下抛出一质量m=2kg的小球（可视为质点），小球刚好从A点进入半圆轨道．不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²．
（1）若轨道光滑，求小球下落到最低点B时的速度大小；
（2）若轨道光滑，求小球相对C点上升的最大高度；
（3）实际发现小球从C点飞出后相对C点上升的最大高度为h′=2.5m，求小球在半圆轨道上克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）若轨道光滑，小球从开始下落到最低点B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，列式即可求得小球下落到最低点B时的速度大小；
（2）对于整个过程，运用机械能守恒求解小球相对C点上升的最大高度；
（3）对于全过程，根据动能定理求解小球在半圆轨道上克服摩擦力所做的功．

解答：解：（1）小球从开始下落到最低点B的过程中，根据机械能守恒定律有：
  mg（h+R）+

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 B

           
代入数据得：v_B=

2g(h+R)+ v 2 0

=

2×10×(2+0.4)+42

m/s=8m/s                    
（2）设小球相对C点上升的最大高度为H．
对于整个过程，根据机械能守恒定律有：
 

1

2

m

v

2 0

+mgh=mgH                  
解得：H=h+

v 2 0

2g

=2m+

42

2×10

m=2.8m                          
（3）对于全过程，根据动能定理得：
  mgh-mgh′+W_f=0-

1

2

m

v

2 0

           
解得：W_f=-6J                         
所以小球克服摩擦力所做的功 W_克=-W_f=6J     
答：（1）小球下落到最低点B时的速度大小为8m/s；
（2）小球相对C点上升的最大高度为2.8m；
（3）小球在半圆轨道上克服摩擦力所做的功为6J．

点评：轨道光滑时，往往物体的机械能守恒；对于有摩擦力的情况，根据动能定理求解摩擦力做功是常用的方法．