Question

如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接．质量为m的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为km的小球发生碰撞，碰撞前后两小球的运动方向处于同一水平线上．
（1）若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同速度；
（2）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，
a．为使两小球能发生第二次碰撞，求k应满足的条件；
b．为使两小球仅能发生两次碰撞，求k应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）小球下滑过程中机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出小球到达水平面的速度；两球碰撞过程动量守恒，由动守恒定律可以求出两球的共同速度．
（2）分析出两球第二次碰撞的条件，应用动量守恒定律与机械能守恒定律分析答题．

解答：解：（1）设质量为m的小球碰撞前的速度为v₀，
由机械能守恒定律得：mgh=

1

2

m

v

2 0

   ①，
设两小球碰后的共同速度为V，
由动量守恒定律得：mv₀=（m+km）V，②
解得：V=

1

k+1

2gh

；
（2）a．取水平向右方向为正方向，设碰后m与km的速度分别为v₁与V₁，
由动量守恒定律得：mv₀=mv₁+kmV₁ ③，
由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

   ④，
解得      v1=

1-k

k+1

v0⑤V1=

2

k+1

v0⑥
两小球若要发生第二次碰撞，需要v₁＜0，-v₁＞V₁ ⑦，
由⑤⑥⑦解得：k＞3；  ⑧
b．对于第二次碰撞，设v₂与V₂分别为m与km碰后的速度，
由动量守恒定律得：m（-v₁）+kmV₁=mv₂+kmV₂ ⑨，
由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+

1

2

km

V

2 2

  ⑩，
由⑤⑥⑧⑨解得v2=

4k-(k-1)2

(k+1)2

v0 （11），V2=

4(k-1)

(k+1)2

v0  （12），
只要满足|v₂|≤V₂，两球一定不会相碰（13），
由⑧（11）（12）（13）解得3＜k≤5+2

5

；
答：（1）若两小球碰撞后粘连在一起，求碰后它们的共同速度为

2gh

k+1

；
（2）若两小球在碰撞过程中无机械能损失，
a．为使两小球能发生第二次碰撞，k应满足的条件是k＞3；
b．为使两小球仅能发生两次碰撞，k应满足的条件是3＜k≤5+2

5

．

点评：应用机械能守恒定律、动量守恒定律即可正确解题，本题的难点与解题关键是分析出碰撞条件．