题目内容

如图1所示，长为l、相距为d的两块正对的平行金属板AB和CD与一电源相连（图中未画出电源），B、D为两板的右端点．两板间电压的变化如图2所示．在金属板B、D端的右侧有一与金属板垂直的荧光屏MN，荧光屏距B、D端的距离为l．质量为m、电荷量为 e的电子以相同的初速度v0从极板左边中央沿平行极板的直线OO′连续不断地射入．已知所有的电子均能够从金属板间射出，且每个电子在电场中运动的时间与电压变化的周期相等．忽略极板边缘处电场的影响，不计电子的重力以及电子之间的相互作用．求：

（1）t=0和t=
T2
时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比．
（2）两板间电压U0的最大值．
（3）电子在荧光屏上分布的最大范围．
分析：（1）从t=0时刻进入电子先做匀速直线运动，然后做类平抛运动，从t=
T
2
时刻进入做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出偏转位移，从而求出偏离OO′的距离之比．
（2）在t=（2n+1）
T
2
（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离最大，抓住偏转位移小于
d
2
，结合牛顿第二定律和运动学公式求出两板间电压U0的最大值．
（3）分别求出t=（2n+1）
T
2
（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离和t=（2n+1）
T
2
（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离，从而确定电子在荧光屏上分布的最大范围．
解答：解：（1）t=0时刻进入两板间的电子先沿OO′方向做匀速运动，即有v0
T
2
=
l
2
，
而后在电场力作用下做类平抛运动，在垂直于OO′方向做匀加速运动，设到达B、D
端界面时偏离OO′的距离为y1，则y1=
1
2
eU0
md
(
T
2
)2=
eU0l2
8mdv02
．
t=
T
2
时刻进入两板间的电子先在
T
2
时间内做抛物线运动到达金属板的中央，而后做匀速直线运动到达金属板B、D端界面．设电子到达金属板的中央时偏离OO′的距离为y2，将此时电子的速度分解为沿OO′方向的分量v0与沿电场方向的分量vE，并设此时刻电子的速度方向与OO′的夹角为θ，电子沿直线到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离为y2′，则有y2=
1
2
eU0
md
(
T
2
)2，tanθ=
vE
v0
=
eU0
mdv0
T
2
=
y2′-y2
l
2
；
解得y2′=
3eU0l2
8mdv02

因此，y1：y2′=1：3．
（2）在t=（2n+1）
T
2
（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离OO′的距离最大，因此为使所有进入金属板间的电子都能够飞出金属板，应满足的条件为y2′≤
d
2
，解得板间电太的最大值U0=
4d2mv02
3el2
．
（3）设t=nT（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离为Y1；
t=（2n+1）
T
2
（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O′点的距离为Y2′，电子到达荧光屏上分布在△Y=Y2-Y1范围内．当满足y2′=
d
2
的条件时，△Y为最大．根据题中金属板和荧光屏之间的几何关系，得到
tanθ=
Y2-y2′
l
=
Y1-y1
l
．
因此电子在荧光屏上分布的最大范围为△Y=Y2-Y1=y2′-y1=
d
3
．
答：（1）t=0和t=
T
2
时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比为1：3．
（2）两板间电压U0的最大值U0=
4d2mv02
3el2
．
（3）电子在荧光屏上分布的最大范围为
d
3
．
点评：本题考查带电粒子在电场中的偏转，理清粒子的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律进行求解．
练习册系列答案
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23
v0．精英家教网
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    （1）t=0和t=T/2时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO’的距离之比。

    （2）两板间电压U0的最大值。

    （3）电子在荧光屏上分布的最大范围。
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（1）t=0和t=T/2时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比．
（2）两板间电压U的最大值．
（3）电子在荧光屏上分布的最大范围．

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