（本小题满分10分）
已知如下等式：，，，
当时，试猜想的值，并用数学归纳法给予证明．

把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明

本小题12分）
调查某地区老年人是否需要志愿者帮助，用简单随机抽样方法从该地调查500位老年人，结果如下：

（本小题15分）
先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题:已知且，求证
证明：构造函数因为对一切,恒有，所以4-8，从而
(1)若,且，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你的结论加以证明；
(3)若，求证.[

通过计算可得下列等式：


 
┅┅

将以上各式分别相加得：
即：
类比上述求法：请你求出的值.

若下列方程：，，，至少有一个方程有实根，试求实数的取值范围．

(本小题满分13分)
已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)若正项数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明：{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若正项数列{an}满足an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn<1；
(3)若正项数列{an}满足an＋1＝g(an)，求证：|an＋1－an|≤·()n－1

（12分）命题实数满足，其中；命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围

（10分）已知△ABC的三边长为有理数
（1）求证cosA是有理数
（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

（本小题满分13分）
已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、（如图1），则.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明。