有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中只有一位同学获奖. 有人走访了四位同学，甲说：“丙获奖了”. 乙说：“我获奖了”. 丙说：“乙、丁都未获奖”. 丁说：“是乙或丙获奖了”四位同学的话中，恰有两句是对的，则获奖的同学是   ▲   .

某同学在研究函数的性质，他已经正确地证明了函数满足：

，并且当，这样对任意，他都可以

求的值了，比如，，

请你根据以上信息，求出集合中最小的元素是   ▲   .

观察下列等式：1³＋2³＝（1＋2）²，1³＋2³＋3³＝（1＋2＋3）²，1³＋2³＋3³＋4³＝

（1＋2＋3＋4）²，…，根据上述规律，第四个等式为___________

观察下列各式：①；②；

③；④

根据其中函数及其导函数的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是：                  ．

当一个非空数集满足条件“如果则，并且当时，”时，我们就称为一个数域．以下四个关于数域命题：①是任何数域的元素；②若数域中有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确命题的序号为    　　   ．

给出下列命题：

命题1：点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;

命题2：点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;

命题3：点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;

     … … .

请观察上面命题，猜想出命题(是正整数)为：                                 .

右图都是由边长为1的正方体叠成的图形

例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位。依此规律，则第个图形的表面积是__________个平方单位。

有对称中心的曲线叫做有心曲线，过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径。定理：如果圆上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1。写出该定理在双曲线中的推广              。

在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：        .                  .

类比正三角形的内切圆切于三边的中点，得出正四面体的内切球切于各面正三角形的位置是