（本小题满分12分）某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值．

（本小题满分14分）设数列的前项和为，，.

 ⑴求证：是等差数列. ⑵设是数列的前项和，求使 对所有的都成立的最大正整数的值.

  北京市为成功举办年奥运会，决定从年到年年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增，则年底更新的车辆数约为现有总车辆数的（参考数据，）（   ）

在教材中，我们称图（1）中的数为三角形数，图（2）中的数为正方形数。那么下列数中既是三角形数又是正方形数的是（   ）

已知数列的前项和为，若，，且，则_______.

（本小题满分12分）

已知数列的前项的和.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若正项等比数列中，前项的和为，且，，求的表达式；

（Ⅲ）求数列的前项的和.

（本小题满分13分）

    为了适应新课改的要求，某重点高中在高一名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第次选修人数为个，且第（）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第次选修人数的一半还多人。

（Ⅰ）当时，写出数列的一个递推公式，并证明数列是一个等比数列；

（Ⅱ）求出用和表示的数列的通项公式。如果选《趣味数学》的学生越来越多，求的取值范围。

数列的通项公式，则该数列的前（    ）项之和等于 

A．          B．              C．             D．

若数列满足，，则数列的通项_______________。

数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-49，S_n达到最小时，n等于_______________。