若，则化简后的最后结果等于______________。

已知，， 则在上的投影为            。

若，，则            。

 已经抛物线方程，则其准线方程为            。

计算：             。   

如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，，，。记，和的面积分别为和。

（I）当直线与轴重合时，若，求的值；

（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形ACBD面积的最大值.

已知定点A(4,0)到等轴双曲线上的点的最近距离为，求此双曲线的方程，并求此双曲线上到点A的距离为的点的坐标。

过点作圆的割线，割线被圆截得的弦长为，求该割线方程