已知向量

m

=（

3

sinx，sinx），

n

=（cosx，sinx），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，a=2，b+c=3，求△ABC的面积．

已知函数f(x)=

1

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

设函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈（0，1]，求证：f（x₁）-f（x₂）≥-

3

4

+ln2；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln

ax+2

6 x

，对于任意a∈（2，4），总存在x∈[

3

2

，2]，使g（x）＞k（4-a²）成立，求实数k的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为（

2

，0），离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OAB面积的最大值．

已知函数f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间．设g（x）=（f′（x）+1）（x²-1），试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．

在一段笔直的斜坡AC上竖立两根高16米的电杆AB，CD，过B，D架设一条10万伏高压电缆线．假设电缆线BD呈抛物线形状，现以B为原点，AB所在直线为Y轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD恰与电缆线相切于点D（m，n）．
（1）求抛物线BD的方程；
（2）根据国家有关规定，高压电缆周围10米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？

如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为3

2

，点M，N分别在PA，BD上，且

PM

PA

=

BN

BD

=

1

3

．
（1）求证：MN⊥AD；
（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．

已知长方体的一条对角线与长方体的两条棱所成角为45°和60°，且体积为4，求长方体的表面积．

在直三棱柱（侧面垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AA₁记线段CD、A₁B₁的中心分别是P、E连接AE、BP，得到如图所示的几何体
（1）若AA₁=a，图甲给出了异面直线之间的距离的一种算法框图（其中异面直线的公垂线是指两异面直线都垂直且相交的直线）请利用这种方法求异面直线AE和BP之间的距离；
（2）若AA₁=2，在线段A₁P上是否存在一点F，使得平面AFB⊥平面A₁BP？若存在，指出点F的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（3）若AA₁=a，在线段A₁C上有一M，过点M做垂直于平面A₁ACC₁的直线l，与直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的其他侧面相交于N，过CM=x，MN=y，求函数y=f（x）的解析式，并据此求出线段MN的长度最大值．

如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，|OC|=

3

，点P，Q满足

OP

=λ

OA

，

AQ

=1(1-λ)

AB

(λ∈R)，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若过点F（-1，0）且斜率不为零的直线与点M的轨迹相交于G，H两点，直线AG和AH与定直线l：x=-4分别相交于点R，S，试判断以RS为直径的圆是否经过点F？说明理由．