已知cos（

π

6

+α）•cos（

π

3

-α）=-

1

4

，α∈（

π

3

，

π

2

），求：
（Ⅰ）sin2α；
（Ⅱ）tanα-

1

tanα

．

已知等差数列{a_n}的首项为10，公差为2，等比数列{b_n}的首项为1，公比为2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设第n个正方形的边长为C_n=min{a_n，b_n}，求前n个正方形的面积之和S_n．（注：min{a，b}表示a与b的最小值．）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b≥1)过点P（2，1），且离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线的l的斜率为

1

2

，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F（0，1），

AC

•

BD

=0，点E为y轴上一点，记∠EFA=α，其中α为锐角．
①求抛物线Γ方程；
②如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？

已知点F₁、F₂为双曲线C：x2-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF₁F₂=30°．圆O的方程是x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂，求

PP1

•

PP2

的值；
（3）过圆O上任意一点Q（x₀，y₀）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|

AB

|=2|

OM

|．

某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作，每名同学当选的机会均相等．
（Ⅰ）求当选的2名同学中恰有l名男同学的概率；
（Ⅱ）求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率．

已知x＞0，且x≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n，它满足条件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，数列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求x的取值范围．

抛物线C₁：x²=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C₂：

x2

4

+

y2

2

=1相交于C，D两点．
（1）求抛物线C₁的焦点F与椭圆C₂的左焦点F₁的距离；
（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

设计一个算法，根据输入x的值，计算y=

3x-1 x≥1 1-3x x＜1

的值，写其程序并画出其流程图．

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

1

7

．现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…直到袋中的球取完即终止．若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．用ξ表示甲四次取球获得的分数之和．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．