已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

2

2

，且椭圆的长轴比焦距长2

2

-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，-

1

3

）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线y²=4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA（O为原点）交准线l于点M，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求证：y₁y₂是一个定值；
（2）求证：直线MB平行于x轴．

已知离心率为

3

2

的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点，点P是椭圆C₁上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）当k₁=

1

2

，在焦点在x轴上的椭圆C₁上求一点Q，使该点到直线PA₂的距离最大．
（3）试判断乘积“k₁•k₂”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论．

某圆锥曲线有下列信息：
①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴；
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1；
③曲线与坐标轴的交点不是两个；
④曲线过点A（1，

3

2

）．
（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；
（2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围．

已知离心率为

3

2

的椭圆C，其长轴的端点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点，点P是椭圆C上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试判断乘积“k₁•k₂”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（3）当k₁=

1

2

，在椭圆C上求点Q，使该点到直线PA₂的距离最大．

已知

m

=（bsinx，acosx），

n

=（cosx，-cosx），f（x）=

m

•

n

+a，其中a，b，x∈R．且满足f（

π

6

）=2，f′（0）=2

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-log 

1

3

k=0在区间[0，

2π

3

]上总有实数解，求实数k的取值范围．

已知动点P与平面上两定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)连线的斜率的积为定值-

1

3

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B(0，

3

)，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=

1

2

，直线l：y=x+1与椭圆交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦MN的长．

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

2

2

，A₁，A₂分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A₂右侧的一点，且满足

1

|A1D|

+

1

|A2D|

=

2

|FD|

=2．
（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

已知抛物线C的方程为y=

1

2p

x2，焦点F（0，1）．直线y=2与抛物线C交于M，N两点A，B在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为定值；
（3）若直线AB的斜率为

2

，且点N到直线MA，MB的距离的和为8，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．