如图，已知直线l₁：y=4x+m，（m＜0）与抛物线C1：y=2ax2，(a＞0)和圆C2：x2+(y+1)2=17都相切，F是抛物线C₁的焦点．
（Ⅰ）求m与a的值；
（Ⅱ）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆E的方程；
（2）在椭圆E上是否存点Q，使得|QB|²-|QA|²=2？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作⊙O：x²+y²=

4

3

的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：

1

3m2

+

1

n2

为定值．

已知函数f（x）=2sin（x-

π

6

）sin（x+

π

3

），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A=

π

4

，锐角C满足f（

C

2

+

π

6

）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

已知△ABC的三个顶点都在抛物线y²=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点F满足

FA

+

FB

+

FC

=

0

，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny-m=0（m，n为常数且m≠0）．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S₁、S₂、S₃，求证：S12+S22+S32为定值．

设函数F（x）在区间D上的导函数为F₁（x），F₁（x）在区间D上的导函数为F₂（x），如果当x∈D时，F₂（x）≥0，则称F（x）在区间D上是下凸函数．已知e是自然对数的底数，f（x）=e^x-ax³+3x-6．
（1）若f（x）在[0，+∞）上是下凸函数，求a的取值范围；
（2）设M（x）=f（x）+f（-x）+12，n是正整数，求证：M（1）M（2）…M（n）＞

(en+1+2)n

．

如图，圆O与直线x+

3

y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=

3

x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足

OC

=x

OA

+y

OB

，动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．
（1）求圆O的方程及曲线Γ的轨迹方程；
（2）若直线y=x和y=-x分别交曲线Γ于点A、C和B、D，求四边形ABCD的周长；
（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．

如图，已知点F是抛物线C：y²=x的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=

5

4

．
（1）求点S的坐标；
（2）以S为圆心的动圆与x轴分别交于两点A，B，直线SA，SB分别交抛物线C于M，N两点，求直线MN的斜率．

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为l₁，l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．
（1）若l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
（2）求

FA

AP

的最大值．

执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值是（　　）

已知f（x）为R上的可导函数，且?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（　　）