已知向量

a

=（sinωx，2cosωx），

b

=（sinωx+

3

cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

-1，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的三边a、b、c所对应的角分别A、B、C，若f（

π

6

+

C

2

）=

5

4

，且a=1，c=

2

，求△ABC的面积．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上动点，弦PA、PB分别过点F₁、F₂，设向量

PF1

=λ₁

F1A

，

PF2

=λ₂

F2B

，求证：λ₁+λ₂为定值．

已知抛物线C：y=x²，直线l：x-2y-2=0，点P是直线l上任意一点，过点P作抛物线C的切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN斜率分别为k₁，k₂，如图所示．
（1）若P（4，1），求证：k₁+k₂=16；
（2）当P在直线l上运动时，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

已知椭圆E：

x2

4

+y²=1的左、右顶点分别为A、B，圆x²+y²=4上有一动点P，P在x轴上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；
（Ⅱ）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k₁，k₂，若k₁=2k₂，求λ的取值范围．

已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周长为12，动点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设P、Q为E上两点，

OP

•

OQ

=0，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为M，证明|OM|为定值．

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）若过定点（-2，0）的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若过定点（-1，0）且倾斜角为

π

6

的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标．

直线y=2x+m与椭圆

x2

4

+y²=1相交于A、B两点，m为变量，求|AB|的最大值．

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率e=

1

2

，若点P为椭圆C上的一个动点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

设F₁，F₂为椭圆

x2

36

+

y2

16

=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|．
（1）若∠PF₂F₁是直角，求|PF₁|-|PF₂|的值；
（2）若∠F₁PF₂是直角，求

| PF1 |

| PF2 |

的值．

一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．