在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a-1，b+2依次成等比数列．
（1）求a的大小；
（2）求cos（2A+

π

3

）的值．

某产品生产成本C万元与产量q件（q∈N^*）的函数关系式为C=100+4q，销售单价p万元与产量q件的函数关系式为p=25-

1

4

q．当产量为多少件时，每件产品的平均利润最大，且最大值为多少？

已知函数f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=4处的切线相互平行，求a的值；
（2）试讨论f=f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2x，对任意的x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），试求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1时函数取得极值．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
（Ⅰ）证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方．
（Ⅱ）证明不等式（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（n∈N^*）恒成立．

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在(0，

1

2

)上无零点，求a最小值；
（3）若对任意给定的x₀∈（0，e]，关于x的方程f（x）=g（x₀）在x∈（0，e]恒有两个不同的实根，求a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-ax-1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（Ⅲ）求证：ln[1+

2×3

(3-1)2

]+ln[1+

2×32

(32-1)2

]+…+ln[1+

2×3n

(3n-1)2

]＜2．

已知函数f(x)=x-alnx，g(x)=-

1+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

已知命题p：对于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解，若p∨q为真，且p∧q为假，求a的取值范围．

已知二次函数f （ x ）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函数y=f （sinx+

3

cosx） （x∈R）的最大值为

16

3

，求f（x）的最小值；
（2）当a＞2时，求证：f （sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥1-a．其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

（k∈Z）．

已知函数f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）
（1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）定义S_n=

2n-1

i-1

f（

i

n

）=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

2n-1

n

），其中n∈N^*，求S₂₀₁₄；
（3）在（2）的条件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2 an•（a_n）^m＞1对?n∈N^*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．