已知函数f（x）=lnx-a（1-

1

x

），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0，回答下列问题：
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求S_n=[a₁]+[a₂]+…+[a_n]，求S_n．

某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA₁=10m，两底面ABCD，A₁B₁C₁D₁是高为2m，面积为10m²的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜

π

2

）．若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元．
（1）试将储水窖的造价y表示为θ的函数；
（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取

3

=1.73）．

设a，b，x，y∈R，且a²+b²=1，x²+y²=1，试证：|ax+by|≤1．

下列各结论中：
①抛物线y=

1

4

x²的焦点到直线y=x-1的距离为

2

；
②已知函数f（x）=x^α的图象经过点（2，

2

2

），则f（4）的值等于

1

2

；
③命题“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x²-x＜0．
正确结论的序号是．

已知等差数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=1，数列{b_n}对于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，且b₃=a₂+a₃．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）如果数列{b_n}的前n项和为T_n，对于任意的n∈N^*都有k（T_n+2）≥S_2n恒成立，求实数k的取值范围．

已知{a_n}的各项均为正数的数列，其前n项和为S_n，若2S_n=a_n²+a_n（n≥1），且a₁、a₃、a₇成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2 an ，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n+4=2b．

若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{2a_n+1}是“平方递推数列”；
（Ⅱ）证明数列{lg（2a_n+1）}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），记b_n=log_2an+1T_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2014成立的n的最小值．

设f（x）=alnx（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b（b∈R）．
（1）求a、b的值；
（2）设集合A=[1，+∞），集合B={x|f（x）-m（x-

1

x

）≤0}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=4AD，BC=2BE．
（Ⅰ）用向量

AB

，

AC

表示

DE

；
（Ⅱ）设AB=8，AC=5，A=60°，求线段DE的长．

已知函数f（x）=e^x（e=2.71828…是自然对数的底数），x∈R．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象过原点的切线方程；
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数；
（Ⅲ）设a＜b，证明

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．