已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{a_n}的首项a₁=1．
（1）若q=

1

3

，在a₁与a₂之间插入k个数b₁，b₂，…，b_k，使得a₁，b₁，b₂，…，b_k，a₂，a₃成等差数列，求这k个数；
（2）对于任意给定的正整数m，在a₁，a₂，a₃的a₁与a₂和a₂与a₃之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）当且仅当q取何值时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c₁的所有可能值的集合及{c_n}的通项公式（用q表示）．

已知函数f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=

1

2

x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=71，求数列{b_n}的前n项和T_n．

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，

OA

+

OB

与

a

=（2，-1）共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），证明λ²+μ²-

2

3

λμ为定值．

已知函数f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），f′（x）为其导函数，且x=3时f（x）有极小值-9．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m-8）x+6m+1，h（x）=mx，当m＞0时，对于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．

已知函数f（x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范围．

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-3，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t），求函数g（t）在区间[-4，-1]上的最小值．

已知椭圆E：

x2

m2

+

y2

n2

=1过点A（-1，0）和点B（1，0），其中一个焦点与抛物线y=

2

8

x²的焦点重合，C为E上异于顶点的任一点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若椭圆E所在平面上的两点M，G同时满足：①

.

GA

+

.

GB

+

.

GC

=

.

0

；②|

.

MA

|=|

.

MB

|=|

.

MC

|．试问直线MG的斜率是否为定值，若为定值求出该定值；若不为定值，请说明理由．

先将函数f（x）=cos（2x+

3π

2

）的图象上所有的点都向右平移

π

12

个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；
（2）若A为三角形的内角，且g（A）=

1

3

，求f（

A

2

）的值．

在极坐标系中，曲线C：ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x= 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数），直线l与曲线C分别交于点M，N．写出曲线C的直角坐标方程并求出线段MN的长度．