已知二阶矩阵M=

a 1 0 b

有特征值λ₁=2及对应的一个特征向量

e1

=

1 1

．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若

a

=

2 1

，求M¹⁰

a

．

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为

3

5

．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A₁，A₂，A₃还喜欢打羽毛球，B₁，B₂还喜欢打乒乓球，C₁，C₂还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B₁和C₁不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：

p（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

已知点M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆的方程和圆M的方程．
（2）若点D的坐标为（0，3），M、N是椭圆上的两个动点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

已知函数f（x）=

ln(1+x)

x

（1）当x＞0时，证明：f（x）＞

2

x+2

；
（2）当x＞-1且x≠0时，不等式f（x）＜

1+kx

1+x

恒成立，求实数k的值．

已知函数f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最小值及相应x的值．

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，面积S_△ABC=6．
（1）求△ABC的三边的长a，b，c；
（2）设P是△ABC（不含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z且

AP

=

AC

| AC |

+

AB

| AB |

．
①写出x、y、z所满足的等量关系；
②求

2

x

+

1

y

的最小值．

已知复数z=（a²-4）+（a+2）i（a∈R）
（Ⅰ）若z为纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上，求实数a的值．

某集团投资兴建了甲、乙两个企业，2012年年底该集团从甲企业获得利润160万元，从乙企业获得利润369万元．以后每年上交的利润是：甲企业为上一年利润的1.5倍，而乙企业则为上一年利润的

2

3

．若以2012年为第一年计算．
（1）该集团从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，最少利润是多少？
（2）试估算2020年底，该集团从上述两个企业获得利润能否突破4050万元？

已知等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=13．
（1）求等差数列的通项公式a_n；
（2）设b_n=

2

n(an+1)

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）令c_n=（n+1）S_n•3ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

设f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中a∈R．
1）若曲线y=f（x）过p（3，f（3））处的切线与直线y=x平行，求a的值；
2）若当x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．