如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ACB=β．
（Ⅰ）证明：sinα=cos2β；
（Ⅱ）若AC=

3

DC，求β的值．

已知函数f（x）=lnx+

1

x

-1；
（1）求函数f（x）的单调区间及最值；
（2）证明：对任意的正整数n，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

都成立．
（3）是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：

幸福感指数	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）
男市民人数	10	20	220	125	125
女市民人数	10	10	180	175	125

根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646）
（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）

已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量

α

=（cos

A-B

2

，

3

sin

A+B

2

），|

α

|=

2

．如果当C最大时，存在动点M，使得|

MA

|，|

AB

|，|

MB

|成等差数列，则

| MC |

| AB |

最大值是．

已知直线4x+3y=10和2x-y=10．
（1）直线ax+2y+8=0过两条直线的交点，求a的值；
（2）过两条直线的交点，且与直线4x-y+5=0平行的直线方程．

已知函数f（x）=x+

a

x

+b，不等式xf（x）＜0的解集为（1，3）．
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（2^x）-k•2^-x-k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

已知函数f（x）=3x+

12

3x

（x＜0），求函数f（x）的最大值，以及取得最大值时x的值．

编号为A₁，A₂，…，A₁₆的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
得分	25	35	21	33	25	16	34	18
编号	A9	A10	A11	A12	A13	A14	A15	A16
得分	17	38	15	28	22	12	31	26

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间	[10，20]	[20，30]	[30，40]
人数

（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，用运动员的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2人得分之和大于50分的概率．

已知函数f（x）=

3

Asinxcosx+Acos²x-

A

2

（x∈RA为常数且A＞0）的最大值为2．
（1）求f（π）的值；
（2）若sinθ=-

3

5

，θ∈（-

π

2

，0），求f（θ+

π

6

）．

在等比数列{a_n}中，a₄=8a₁，则公比q的值为（　　）