设数列{b_n}的前n项和为T_n，已知b_n=

1

22n-1

，求证：T_n＜

7

8

．

已知两个非零向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），ω＞0．
（Ⅰ）当ω=2，x∈（0，π）时，向量

m

与

n

共线，求x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=

m

•

n

的图象与直线y=

1

2

的任意两个相交邻点间的距离都是

π

2

，当f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

6

，α∈（0，π）时，求cos2α的值．

设函数f（x）=

1

3

x³+ax²-3a²x+2a-1（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+4x+9a³+7，且对任意实数x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范围．

数列{a_n}中，已知an=

2n+1

3n

，S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：S_n＜2．

设g（x）=

x

，f（x）=kx²，其中k为常数．
（1）求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；
（2）如果函数f（x）的图象也经过点（4，2），求f（x）与（1）中的切线的交点．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）证明：直线B₁D₁∥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与B₁D₁所成的角；
（Ⅲ）若正方体的棱长为1，求三棱锥D-BB₁C的体积．

某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，游客可以乘长为3km的索道AC上山，也可以沿山路BC上山，山路BC中间有一个距离山脚B为1km的休息点D．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2km，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰（即从B点出发到达C点）

已知函数f（x）=

ax

1+x2

（a＞0）的图象为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线C的切线的斜率k的最小值为-1，求实数a的值．

下列命题中，正确的是（　　）

直线

x

3

+

y

2

=1与4x+y-4=0相交于P，这两直线与x轴分别相交于A₁、A₂，与y轴分别相交于B₁、B₂，若△PA₁A₂、△PB₁B₂的面积分别为S₁、S₂，则（　　）