已知tanα=

3

4

．
（1）求2+

1

2

sin2α-cos²α的值；
（2）求

sin(4π-α)cos(3π+α)cos( π 2 +α)cos( 15π 2 -α)

cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin( 13π 2 +α)

的值．

如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD于点E，CD=DE=2AB=2AE，
（1）证明：平面SBE⊥平面SEC；
（2）若SE=BE，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+

1

2

c=a．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求ac的最大值．

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，AB=AD=a，AA₁=2a．
（1）求多面体A₁B₁C₁D₁-BCD的体积；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

设函数f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=-

a

2

，3a＞2c＞2b，求证：
（1）a＞0且-3＜

b

a

＜-

3

4

；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集，命题q：方程（a-1）x²+（3-a）y²=（a-1）（3-a）表示焦点在y轴上的椭圆，若命题￢q为真命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

如图为一矩形宣传单，其中矩形ABCD为排版区域，它的左右两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留有宽为2acm的空白．
（1）若AB=20cm，BC=30cm，且该宣传单的面积不超过1000cm²，求实数a的取值范围；
（2）若a=1cm，排版区域ABCD的面积为800cm²，应如何设计矩形ABCD的尺寸，才能使矩形宣传单的面积最小？

已知函数f（x）=（a-

1

2

）x²+lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：当a∈(0，

1

2

]时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．

已知在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是A₁C₁，A₁D和B₁A上任一点，求证：平面A₁EF∥平面B₁MC．

如图，△ABC中，D在边BC上，BD=2，CD=1，AD=

3

，B=60°，求：
（1）AB的长；
（2）AC的长；
（3）△ABC的面积．