已知函数f（x）=

a

x

+2lnx-1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．

如图，DA⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，AC=AD=BC=1，PC=2，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-CD-B的余弦值．

某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之间拉一条“定位线”EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3．（单位：分米）
（Ⅰ）若点E、F分别为AB、CD的中点，请指出此时直线EF与直线BC的位置关系（直接写出结论）；
（Ⅱ）若E、F分别在AB、天花板ACD上运动时，始终保持“定位线”EF的长为定值2，记EF的中点为G，试探究线段AG的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD的距离为

3

3

且与另两墙距离之和最大处，求此时直线AG平与面BCD所成角的正弦值．

根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率P与日产量x（件）之间近似地满足关系式P=

2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* x2+60 540 ，10≤x≤20，x∈N*

（日产品废品率=

日废品量

日产量

×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润Y=日正品赢利额-日废品亏损额）
（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产x（件）的函数；
（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面AMC；
（Ⅱ）求证：AC⊥BD₁；
（Ⅲ）在线段BB₁上是否存在点P，当

BP

BB1

=λ时，平面A₁PC₁∥平面AMC？若存在，求出λ的值并证明；若不存在，请说明理由．

如图，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=60°AB=2，DE=EF=1．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求三棱锥B-DEF的体积．

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R），且函数f（x）的最小值为a．
（1）已知b∈R，设af（x）+bx＞0，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数b的取值范围；      
（2）设n∈N，证明(

k

n

)n＜

e

e-1

．

如图，设四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，P为DE上一点 若BE∥平面PAC．
（1）证明：P为ED中点；
（2）若AB=EC=2，AE=BE=

2

，证明：平面EAB⊥平面ABCD．

已知函数f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x），求函数f（x）的导函数．