如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，已知AC=BC=CD=1，AE=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）证明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值．

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成直二面角D-AB-C，如图二，在二面角D-AB-C中．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求D、C之间的距离；
（3）求DC与面ABD所成的角的正弦值．

已知函数f（x）=lnx+

1

2

ax²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的值；
（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，求a的取值范围．

已知函数y=3cos（2x+

π

4

）+2．
（1）求函数周期及值域；
（2）当x∈[0，π]时，求函数的单调增区间和单调减区间；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求y的取值范围．

定义在R上的函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，当x＜0时，f′（x）＜x，则不等式f（x）+

1

2

≥f（1-x）+x的解集为．

已知x＞-2，求函数y=x+

1

x+2

的最小值．

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f（1）、f（

1

9

）的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如表所示：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人．

人数		数学
		优秀	良好	及格
地理	优秀	7	20	5
	良好	9	18	6
	及格	a	4	b

（Ⅰ）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；
（Ⅱ）若样本中a≥10，b≥8，求在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB为直角．以AC为直径作半圆O，使半圆O所在平面⊥平面ABC，P为半圆周异于A，C的任意一点．
（1）证明：AP⊥平面PBC
（2）若PA=1，AC=BC=2，半圆O的弦PQ∥AC，求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值．

已知函数f（x）=x³+ax²．
（2）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求a的取值范围．