在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，点D是BC的中点，BC=BB₁．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）M为棱CC₁的中点，试证明：MB⊥AB₁．

如图所示的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，点P在底面的射影O在DA的延长线上，且OC过边AB的中点E．
（1）证明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=

a

2

，求三棱锥O-PAC的体积．

在△ABC中，角A，B，C成等差数列，sin²A，sin²B，sin²C也成等差数列，试判断这个三角形的形状．

如图，在四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD，O为垂足，点M在SO上，且SM：MO=2：1，经过点M作与底面ABCD平行的平面α，分别交棱SA、SB、SC、SD于A₁、B₁、C₁、D₁
（1）求证：四边形A₁B₁C₁D₁∽四边形ABCD；
（2）求棱锥S-A₁B₁C₁D₁的体积与棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD的体积之比．

已知函数g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＞a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们对应的特征向量分别为

α1

=

1 0

，

α2

=

0 1

（1）求矩阵A及逆矩阵A^-1
（2）若

β

=

1 16

，试求A¹⁰⁰

β

．

设（2x+1）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵+a₆x⁶+a₇x⁷
（1）求第四项二项式系数及含有x³的项的系数；
（2）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇值．

已知等差数列{a_n}中，a₃=2，3a₂+2a₇=0，其前n项和为S_n．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=|

Sn

n

|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行数学知识比赛，决出第一名至第五名的名次．比赛之后甲乙两位同学去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．
（1）从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况？
（2）比赛组委会规定，第一名获奖金1000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四名及第五名没有奖金，求丙获奖金数的分布列及数学期望．

已知数列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和为T_n．