在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=AB=2

3

，AC=4，D为PC的中点，PB⊥AD．
（1）证明：BC⊥AB；
（2）求二面角B-AD-C大小的正切值．

已知f（x）=lnx+1，g（x）=ax+

a-1

x

，F（X）=f（x）-g（x）．
（1）当a=2时，求函数F（x）在区间[

1

e

，e]上的最大值；
（2）若a≤

1

2

，求函数F（x）的单调区间；
（3）在曲线y=f（x）上任取两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），（x₁＜x₂），直线PQ的斜率为k，试探索：kx₁，1，kx₂ 三者的大小关系，并说明理由．

如图1所示的图板中，O是F₁F₂的中点，且|F₁F₂|=2．将一条长为4的细绳两端分别固定在F₁，F₂处．套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，可画出一个如图2所示的椭圆轨迹г．

（Ⅰ）试求出图2中椭圆г的一个标准方程；
（Ⅱ）若P为椭圆Γ上满足PF₂⊥F₁F₂的点，那么是否存在与椭圆Γ交于两点A、B的直线l，使得四边形OPAB为平行四边形？若存在，请基于（Ⅰ）的解答求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

y=sinθ-2 x=cosθ

（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为．

设函数f_n（x）=x 

1

n

+ax+b（n∈N₊，a，b∈R）．
（Ⅰ）当n=2，a=-1，b=1时，求函数f_n（x）的极值；
（Ⅱ）若n≥2，a=1，b=-1，证明：f_n（x）在区间（0，

1

2

）内存在唯一的零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x_n是f_n（x）在区间（0，

1

2

）内的零点，判断数列x₂，x₃，…，x_n，…的增减性．

已知m（a），M（a）分别是函数y=x²-ax+0.5a（a＞0，0≤x≤1）的最小值和最大值，
（1）求m（a），M（a）；
（2）求最值m（a），M（a）的最大值或最小值．

如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=

2

2

PC=

2

，且N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，
（1）求证：NM∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（3）求直线DP和平面PAC所成角的正弦值．

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁是菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E，F分别是AB₁，BC的中点．
（1）求证：直线EF∥平面A₁ACC₁；
（2）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．

定义集合A与B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}，记“从集合A中任取一个元素x，x∈A-B”为事件E，“从集合A中任取一个元素x，x∈A∩B”为事件F；P（E）为事件E发生的概率，P（F）为事件F发生的概率，当a、b∈Z，且a＜-1，b≥1时，设集合A={x∈Z|a＜x＜0}，集合B={x∈Z|-b＜x＜b}．给出以下判断：
①当a=-4，b=2时P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

； 
②总有P（E）+P（F）=1成立；
③若P（E）=1，则a=-2，b=1；        
④P（F）不可能等于1．
其中所有正确判断的序号为．

判断椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，以焦点弦PQ为直径的圆与对应准线的位置关系，并证明．