如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

设

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），

c

=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，若θ₁-θ₂=

π

4

，求sin

α-β

2

的值．

给出下列命题：
①函数y=cos（2x-

π

6

）图象的一条对称轴是x=

7π

12

②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；
③将函数y=sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

3

个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；
④存在实数x，使得等式sinx+cosx=

3

2

成立；
其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）．

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

，m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且b=0，判断F（m）+F（n）能否大于零？

已知函数f（x）=

alnx

x

+bx图象在点P（1，f（x））处切线方程是y=-1，其中实数a，b是常数．
（1）求实数a，b的值；
（2）若x=1是函数g（x）=1-clnx-x²的唯一零点，求实数c的取值范围；
（3）若对任意的正实数x，以及任意大于m的实数t，都有

ln(x+t)

x+t

-x＜

lnt

t

恒成立，求实数m的最小值．

在平面直角坐标系中，过圆x²+y²=1上的动点M作y轴的垂线且交y轴于点N，点Q满足：

OQ

=2

OM

-

ON

．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）设曲线C分别与x，y轴正半轴交于A，B两点，直线y=kx（k＞0）与曲线C交于E，F两点，与线段AB交于点D，

ED

=6

DF

，求k值．

请判断下列函数y=

9-x2

|x+5|-5

的奇偶性，并写出证明过程．

f（x）=

x+3

x

 
（1）写出此函数的定义域和值域
（2）证明函数在（0，+∞）为单调递减函数．

如图，在三棱锥A-BOC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=OC=2，E，F分别是棱AB，AC的中点．
（1）求证：AC⊥平面BOF；
（2）过EF作平面与棱OA，OB，OC或其延长线分别交于点A₁，B₁，C₁，已知OA₁=

3

2

，求直线OC₁与平面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
（1）证明：acosB+bcosA=c；
（2）若

sinC

2sinA-sinC

=

b2-a2-c2

c2-a2-b2

，求角B的大小．