A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．
（1）若A点的坐标为（

3

5

，

4

5

），求

3-cos2α+sinαcosα

1+sin2α

的值；
（2）求|BC|²的取值范围．

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c，试问当a，b分别满足什么条件时．
（1）函数f（x）没有极值；
（2）函数f（x）有一个极值；
（3）函数f（x）有两个极值．

（1）已知角α是第二象限角，且sinα=

1

3

，求cos（π+α）及tanα的值；
（2）已知tanβ=

1

2

，①求

sinβ+2cosβ

cosβ-3sinβ

的值；②求sin²β-3sinβcosβ+4cos²β的值．

写出命题“在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直”的逆命题，判断逆命题的真假并证明．

已知函数f（x）=（2-a）lnx-1，g（x）=lnx+ax²+x（a∈R），令φ（x）=f（x）+g′（x）．
（Ⅰ）当a=0时，求φ（x）的极值；
（Ⅱ）当a≤-2时，求φ（x）的单调区间．

已知函数f(x)=ax3+

3

2

bx2-6x+1，f′(-1)=0，f′(2)=0
（I）求函数f（x）的解析式．
（II）对于?x₁、x₂∈[0，3]，求证|f（x₁）-f（x₂）|≤10．

已知P：2≤m≤8，Q：函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1存在极大值和极小值，求使“P∩￢Q”为真命题的m的取值范围．

已知函数 f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）若f（x）在x∈（1，e）有极值．函数g（x）=x³-x-2，证明：?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），函数f（x）在x=2处取得极值-4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间．

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如何由函数y=2sinx的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程；
（3）若f（

α

4

）=

1

2

，求sin（

π

6

-α）的值．