已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4-3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l₁，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l₁的方程．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是45°和arctan

1

2

，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点．
（1）求直线EC与平面PAD所成的角（结果用反三角函数值表示）；
（2）求三棱锥P-AFD的体积．

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期，单调递减区间和图象的对称轴方程；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

3

]，求函数f（x）的值域；
（3）已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若f（A-

π

6

）=1，BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的长．

已知函数f（x）=ax-ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设x₁，x₂，…，x_n是互不相等的正整数，n∈N^*，证明：

x1

12

+

x2

22

+…+

xn

n2

＞1n（n+1）．

（1）f（x）=

ln(x+1)

x

（x＞0），求证：若m＞n＞0，则f（m）＜f（n）．
（2）求g（x）=lnx-ax²在[1，2]上的最大值．

设f（x）=sinx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应x的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，满足f（A）=1．求sin（2B+C）的取值范围．

已知动圆与直线y=-3相切，并与定圆x²+y²=1相内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）过原点作斜率为1的直线交曲线C于p₁（p₁为第一象限点），又过P₁作斜率为

1

2

的直线交曲线C于P₂，再过P₂作斜率为

1

4

的直线交曲线C于P₃…如此继续，一般地，过P_n作斜率为

1

2n

的直线交曲线C于P_n+1，设P_n（x_n，y_n）．
（i）令b_n=x_2n+1-x_2n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（ii）数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较

3

4

S_n+1与

1

3n+10

大小．

某耐磨厂对一批耐磨球的单个重量（单位：克）进行了抽样检测，并绘制出频率分布直方图，已知耐磨球单个重量的范围为[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，104），[104，106）
（1）求图中x的值；
（2）已知这批耐磨球共有5000个，试估计这批耐磨球中单个重量小于100克的球的个数；
（3）现从第一组到第五组（从左到右依次为第一组、第二组、…、第五组）中各取一求放入盒中充分搅拌，然后随机选出两球进行配对，若选出的两球所在的组数相邻，则称这两球为“姊妹球”，试求选出的两球为为“姊妹球”的概率．

如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，P点在以AD为直径的半圆弧上运动（不包括端点）
（Ⅰ）证明：PA⊥PC；
（Ⅱ）当二面角P─BC─D达到最大值时，求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

以双曲线y²-

x2

3

=1的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为．