定义在D上的函数f（x），如果满足：?x∈D，?常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
（1）试判断函数f（x）=x³+

3

x

在[

1

2

，3]上是否是有界函数？
（2）若某质点的运动方程为S（t）=

1

t+1

+

1

2

a（t+1）²，要使对t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度S′（t）是以M=1为上界的有界函数，求实数a的值．

已知直线 L₁：y=x+1与椭圆 

x2

4

+

y2

3

=1相交于A、B两点，试求弦AB的中点P的坐标．

椭圆x²+4y²=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（　　）

已知a∈R，设命题p：函数f（x）=a^x是R上的单调递减函数；命题q：函数g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的定义域为R．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

如图，在半径为3的圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A、O之间）．若CE=

5

，则AE=．

已知函数f（x）=

ax

ex

，a≠0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，已知x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：f（x₁）＞f（2-x₂）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC与BC₁所成角的大小．

设函数f（x）=

x

1+x

-aln（1+x），g（x）=ln（1+x）-bx
（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；
（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：不等式-1＜

n

i=1

k

k2+1

-lnx≤

1

2

（n=1，2…）

对任意的实数x恒有log_a（sinx+cosx）²≥-2，则实数a的取值范围是．

若（2x-1） 

1

2

＜（3x） 

1

2

，则实数x的取值范围（　　）