已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）令g（x）=（1-a）x，当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）令a_n=1+

n

2n

，记数列{a_n}的前n项积为T_n，求证：T_n＜e²．

定义y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f（x）=F（x，2）-3x，过坐标原点O作曲线C：y=f（x）的切线l，切点为P（n，t）（n＞0），设曲线C与l及y轴围成图形的面积为S，求S的值．
（Ⅱ）令函数g（x）=F（x，2）+alnx，讨论函数g（x）是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值．
（Ⅲ）证明：当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．

已知函数f（x）=xlnx
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）若g(x)=

1

2

mx2（m为实数），若f（x）≥g（x）对x∈[

e

2

，

3e

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；  
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证：|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

．

若函数y=lnx-ax的单调递减区间为（1，+∞），则a的值是（　　）

A．0＜a＜1

B．-1＜a＜0

C．a=-1

D．a=1

已知f′（x）g（x）-f（x）g′（x）=x²（1-x），则函数

f(x)

g(x)

（　　）

A．有极大值点1，极小值点0

B．有极大值点0，极小值点1

C．有极大值点1，无极小值点

D．有极小值点0，无极大值点

函数f（x）=e^x（x²+2x+1）的单调增区间为______．

函数f（x）=（x-4）e^x的单调递增区间是（　　）

A．（-∞，3）

B．（0，2）

C．（1，4）

D．（3，+∞）

已知关于x的函数f(x)=-

1

3

x

3

+b

x

2

+cx+bc，其导函数f′（x）．
（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（2）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）-c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤1，求实数b的取值范围．

已知函数f(x)=ax+

1

x3

，其中a∈R．
（I）求证：函数f（x）为奇函数；
（II）若a=3，求函数f（x）的极值．